a2 + b2 + c2 >= 4√3 A.

　　并求出等号何时成立。

　　3. 解方程 cosnx - sinnx = 1, 其中n是一个自然数。

　　4. P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, BP/PE, CP/PF 中至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。

　　5. 作三角形ABC使得 AC=b, AB=c，锐角AMB = ?,其中M是线断BC的中点。求证这个三角形存在的充要条件是

　　b tan(?/2) <= c < b.

　　又问上式何时等号成立。

　　6. 三个不共线的点A、B、C，平面p不平行于ABC，并且A、B、C在p的同一侧。在p上任意取三个点A', B', C'， A'', B'', C''设分别是边AA', BB', CC'的中点，O是三角形A''B''C''的重心。问，当A',B',C'变化时，O的轨迹是什么?

　　第4届IMO

　　1. 找出具有下列各性质的最小正整数 n：它的最后一位数字是6，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是原来数的4被。

　　2. 试找出满足下列不等式的所有实数 x：

　　√(3-x)- √(x+1) > 1/2.

　　3. 正方体 ABCDA'B'C'D'(ABCD、A'B'C'D'分别是上下底)。一点 x沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动;一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线断XY的中点的轨迹。

　　4. 解方程cos2x + cos22x + cos23x = 1。

　　5. 在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。

　　6. 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为 r，求证这两个圆的圆心的距离是√(R(R-2r))。

　　7. 求证：正四面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切;

　　反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。

　　第5届IMO

　　1. 找出下列方程的所有实数根(其中 p是实参数)：

　　√(x2-p)+2√(x2-1) = x.

　　2. 给定一点A及线断BC，设空间中一点P使得存在线段BC上有一点X满足 角APX是直角，试求出所有这样的点P的轨迹。

　　3. 在一个 n边形中，所有内角都相等，边长依次是

　　a1 >= a2 >= ... >= an，

　　求证：所有边长都相等。

　　4. 设 y是一个参数，试找出方程组 xi + xi+2 = y xi+1 (i = 1, ... , 5)的所有解 x1, ... , x5。

　　5. 求证

　　cos pi/7 - cos 2pi/7 + cos 3pi/7 = 1/2.

　　6. 五个同学A、B、C、D、E参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻(例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种)。还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样;而且有两对同学(4个不同的同学)的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何?

　　第6届IMO

　　1. (a) 求所有正整数 n 使得 2n - 1 能被 7整除;

　　(b) 求证不存在正整数 n 使得 2n + 1 能被 7 整除。

　　2. 假设a、b、c是某三角形的三边长，求证：

　　a2(b + c - a) + b2(c + a - b) + c2(a + b - c) <= 3abc.

　　3. 三角形ABC的三边长为别为a、b、c。分别平行于ABC的各边作三角形ABC内切圆的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和(用a,b,c表示)。

　　4.十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。

　　5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。